جبر مسیر حل مسائل را به ما نشان می‌دهد، روش استقراء به همراه یک نکته. که آن نکته «تفکر معکوس» است. این مسئله را در ذهن‌تان مجسم کنید: عدد 25 را در اختیار داریم، اگر 17 واحد به آن اضافه کنیم حاصل چیست؟ عدد 42. این روش مستقیم فکر کردن است. اعداد را در اختیار داریم و فقط آنها را جمع می‌زنیم تا به جواب برسیم. اما فرض کنید که 42 را در اختیار داشتیم و سؤال این بود که چه عددی را به 25 اضافه کنیم تا حاصل 42 شود؟ این جایی است که تفکر معکوس به میان می‌آید ما به دنبال مقدار x هستیم به صورتی که در معادله 42=x+25  صدق کند بنابراین پاسخ با 25 از 42 حاصل می‌شود. 

قرن‌هاست به دانش‌آموزان مدارس سؤالاتی داده می‌شود که به کمک جبر حل می‌شوند. برادرزادة من کاترین 6 سال دارد ومن 40 ساله‌ام. چند سال بعد سن من سه برابر سن برادرزاده‌ام می‌شود؟ می‌توان پاسخ را به روش آزمون و خطا به دست آورد. اما جبر بسیار راحت‌تر و سریع‌تر ما را به جواب می‌رساند. x سال بعد کاترین x + 6 سال دارد و من x + 40 ساله خواهم بود. از طرفی x سال بعد سن من سه برابر سن کاترین است بنابراین

x+40=(x+6)×3

با محاسبه حاصلضرب سمت چپ معادله به رابطه x+40=x3+18 می‌رسیم. اگر اعداد ثابت و جملات شامل x را در دو سمت معادله از هم جدا کنیم به رابطه 22=x2  می‌رسیم که به ما 11=x   را خواهد داد. این پاسخ به این معناست که زمانی که من 51 ساله‌ام و کاترین 17 ساله شده سن من سه برابر او خواهد بود. این جادوی جبر است!

اگر بخواهیم بدانیم چه زمان سن من دو برابر سن او می‌شود می‌توانیم مشابه روش بالا عمل کنیم

x+40=(x+6)×2

که با حل معادله به 28=x می‌رسیم. که به ما نشان می‌دهد زمانی که من 68 ساله شوم و او 34 ساله شود، سن من دو برابر سن اوست.

معادلات بالا ساده‌ترین شکل معادلات جبری هستند که به این دسته از معادلات «خطی» می‌گوییم در این نوع معادلات هیچ وقت جمله‌ای مانند x² و یا ³x  و سایر توان‌های بالاتر از 1 ظاهر نمی‌شود. این‌گونه جملات معادله را دشوارتر می‌سازد. معادلاتی که شامل²x  و توان‌های کمتر x هستند «معادله درجه دو» یا «معادله مربعی» و معادلات شامل³x   و توان‌های کمتر x «معادله درجه سه» یا «معادله مکعبی» نام دارند.

ریاضیات در ضمن عبور از یک علم محاسباتی و عددی به علم جبری و نمادی دستخوش تحولات بزرگی شد. فرآیند حرکت از اعداد به حروف، که جهش ذهنی و تلاشی بسیار ارزشمند به حساب می‌آید.

نقطه شروع

جبر پایه و اساس مرجعی برای ریاضیات به حساب می‌آید که در پی تلاش‌های خوارزمی، محقق مسلمان قرن نهم شکل گرفت خوارزمی رساله‌ای در ریاضیات دارد که در آن از عبارت عربی «الجبر» استفاده کرده است.

در پی طرح مسائلی در زمینه معادلات خطی و درجه دوم، به واسطه «علم معادلات» خوارزمی بود که «جبر» قدم به عرصه ریاضیات نهاد. حکیم عمر خیام که به نگارش رباعیات بسیار معروف است و ابیات جاویدانش توسط ادوارد فیتز جرالد به زبان انگلیسی ترجمه شده است و یکی از معروف‌ترین آنها رباعی زیر است:

گر دست دهد ز مغز گندم نانی       از می ‌قدحی، ز گوسفندی رانی
وانگه من و تو نشسته در ویرانی      عیشی بود آن نه حد هر سلطانی

در سال 1070 میلادی در حالی که 22 سال داشت کتابی درباره جبر نوشت و در آن به جستجوی حل معادلات درجه 3 پرداخت.

در سال 1545 کارهای بزرگ کاردانو در زمینه ریاضیات منتشر شد. وی در کتاب خود راه‌کارهایی برای حل معادلات درجه 3 و درجه 4 ارائه داد که نتایج محاسباتی ارزشمندی دربرداشت. از نتایج محاسبات او این بود که معادلات درجه دوم، سوم و چهارم همگی دارای حل فرمول‌بندی شده‌ای هستند که تنها شامل عملیات ریاضی +، -،‌ × ، / ¸ و (ریشه qام) است.

فرمول‌های حل معادلات درجه 3 و درجه 4 قطعاً طولانی و سنگین است. ریاضی‌دانان به این نتیجه رسیده‌اند که نمی‌توان فرمولی تهیه کرد که به طور عمومی پاسخ معادله درجه پنج (شامل x⁵) را به ما بدهد. چه چیز در مورد توان 5 متفاوت است؟ در سال 1826 نیلز آبل که عمری بسیار کوتاه داشت پاسخ قابل توجهی به معادله درجه 5 داد. او اثبات کرد که معادله درجه 5 را نمی‌توان با فرمول حل کرد و او به این نتیجه‌ رسید که هرگونه تلاش و تحقیق برای رسیدن به این هدف، پوچ و بیهوده است. آبل توانست ریاضی‌دانان تراز اول را متقاعد نماید، اما زمان زیادی طول کشید تا این امر در جهان ریاضیات مورد پذیرش قرار گیرد. برخی ریاضی‌دانان به شدت از پذیرفتن نتایج آبل اجتناب می‌کردند و حتی برخی در قرن نوزدهم مقالاتی چاپ کرده و در آن ادعا نمودند که حل معادلات درجه 5 را یافته‌اند.

ارتباط ایتالیایی

نظریه معادلات درجه سه در زمان رنسانس به طور کامل توسعه یافت. متاسفانه این اتفاق در دوره‌ای از تاریخ روی داد که جهان ریاضیات وضعیت چندان مناسبی نداشت. دل‌فرو موفق به حل شکل‌هایی مشخص از معادله درجه 3 گردید. این مسئله به گوش فونتانا تارتاگلیا مدرس ونیزی رسید و او به سرعت نتایج خود را در این زمینه منتشر ساخت اما روش حل آن را همچون یک راز نزد خود نگاه داشت. کاردانوی میلانی نزد تارتاگلیا رفت و وی را ترغیب کرد تا روش محاسباتش را به او بگوید و سوگند یاد کرد که هرگز این روش را فاش نکند. اما زمانی که تارتاگلیا نتایج کارش را در کتابی با نام «هنر بزرگ» دید که توسط کاردانو در سال 1545 منتشر شد، دریافت که رازش فاش گردیده و از آن زمان دشمنی این دو نفر بالا گرفت.

جهان مدرن

در طول 500 سال جبر به معنای «نظریه معادلات» بود اما در قرن نوزدهم پیشرفت‌هایی در این زمینه حاصل شد. ریاضی‌دانان دریافتند که نمادها در جبر می‌توانند چیزی بیش از اعداد را توصیف کنند. درحقیقت آنها می‌توانند توصیف‌گر قضایا باشند و بنابراین جبر می‌تواند در عرصه منطق وارد شود. نمادهای جبری می‌توانند اعدادی با بُعد بالاتر را نشان دهند که جبر ماتریس‌ها نام دارد. (فصل 27) با این که بسیاری نسبت به این امر مشکوک بودند ولی این نمادها توانستند براساس قوانین ریاضی فرمول‌بندی شوند.

اتفاق بسیار مهمی که در جبر جدید رخ داد، هنگامی بود که ریاضی‌دان ایرلندی، سِر ویلیام روان هامیلتون در سال 1843 چهارتایی‌ها را کشف کرد. هامیلتون در پی آن بود که سیستمی از نمادها بیابد که بتواند اعداد مختلط دو بعدی را به ابعاد بالاتر تعمیم دهد. او سال‌ها به دنبال نمادهای سه بعدی بود اما هیچ سیستم رضایت‌بخشی پیدا نکرد. سؤال همیشگی پسرانش هنگامی که به همراه او صبحانه صرف می‌کردند این بود که: «پدر، آیا توانستی سه‌تایی‌ها را در هم ضرب کنی؟» و او به ناچار پاسخ می‌داد که تنها توانسته آن‌ها را با هم جمع یا تفریق کند. اما سرانجام موفقیت حاصل شد اما نه در اعداد سه بعدی. تلاش برای اعداد سه بعدی هیچ موفقیتی دربر نداشت. او باید به سراغ نمادهای چهار بعدی می‌رفت. جرقه این الهام وقتی در ذهن او زده شد که در کانال سلطنتی دوبلین به همراه همسرش قدم می‌زد. هامیلتون 38 ساله از شوق کشفی که کرده بود به وجد آمد، او که در آن هنگام ستاره‌شناس سلطنتی ایرلند و شوالیه قلمرو شاهی بود، بی‌درنگ همانند یک خرابکار شروع به حک کردن محاسباتش بر روی پل بروگهام کرد. محلی که امروز با یک پلاک مشخص شده است. از روزی که این مسئله در ذهنش شکل گرفت برای او به صورت وسواسی فکری درآمده بود. او سال‌ها و سال‌ها به تدریس مبحث چهارتایی‌ها پرداخت و کتاب سنگینی درباره آن با عنوان «رویای عارفانه چهار» منتشر ساخت.

یکی از ویژگی‌های عجیب چهارتایی‌ها ضرب آنهاست. ترتیب ضرب کردن آنها بسیار مهم است که این امر با حساب معمولی در تناقض است. در سال 1844 زبان‌شناس و ریاضی‌دان آلمانی، هرمان گراسمن سیستم جبری دیگری را منتشر ساخت و در آنها اعداد یک بعدی معرفی کرد که ترتیب ضرب آنها در حاصل ضربشان مؤثر بود. امروزه هم چهارتایی‌ها و هم جبر گراسمن در هندسه، فیزیک و گرافیک رایانه‌ای کاربرد دارد.

روش خلاصه‌نویسی

در قرن بیستم غالب الگوهای جبری روش‌های بدیهی بود. این روشی بود که به عنوان پایه‌های اولیه هندسه توسط اقلیدس استفاده می‌شد اما تقریباً می‌توان گفت در سال‌های اخیر کاربردی در جبر نداشته است. اِمی نودر یکی از مدافعان روش خلاصه‌نویسی بود. ایده رایج در این جبر جدید این است که وقتی مثال‌های مجزا همگی تابع یک حالت کلی خلاصه شده باشند به مطالعه ساختار می‌پردازیم، اگر این مثال‌های مجزا همگی ساختار یکسان داشته باشند اما نحوه نگارششان متفاوت باشد به آنها ایزومرفیک یا یک‌ریخت می‌گوییم. بنیادی‌ترین ساختار جبری «گروه» است که با‌لیستی از اصول مشخص می‌شود (فصل 93).

ساختارهایی با اصول کمتر نیز وجود دارند (گروه وارها، نیمه گروه‌ها و شبه گروه‌ها) و همچنین ساختارهایی با اصول بیشتر (مانند حلقه‌ها، حلقه‌های تقسیم، دامنه‌های انتگرال و میدان). تمام این کلمات جدید در اوایل قرن بیستم وارد ریاضیات شد، هنگامی که جبر به علم خلاصه‌نویسی تبدیل شد و اکنون آن را به نام «جبر جدید» می‌شناسیم.